De Legos a logos

Estos son unos detalles matemáticos que acompañan al artículo Geometría (y física) en la Tierra plana.

El Sol se comporta como un cuerpo negro con temperatura $T = 5775K$ y, como tal, se puede calcular la energía emitida por unidad de superficie según la ley de Stefan-Boltzmann.

$e = \sigma T^4$

La energía total emitida por el Sol, entonces, es este número multiplicado por el área total.

$E = \sigma T^4 4\pi R_s^2$

Como esta energía debe conservarse, esta misma cantidad de energía es la que recibe una esfera cuyo radio es igual a la distancia de la Tierra al Sol. Y, entonces, la energía por unidad de área que llega a esa esfera se consigue dividiendo $E$ por el área de dicha esfera.

esquema sol

$e_d = \frac{\sigma T^4 4\pi R_s^2}{4\pi d^2} = \sigma T^4 \frac{R_s^2}{d^2}$

Finalmente, para calcular la energía total que llega a la Tierra, habría que multiplicar este valor por el área total que es iluminada por el Sol. Esto funciona si la Tierra está muy lejos del Sol y el valor de $e_d$ entonces fuera constante. Pero en una Tierra plana con un Sol cercano, es muy distinto. Por lo tanto, lo que hay que hacer es integrar el flujo de energía sobre toda la superficie del disco.

El flujo de energía, entonces, es $F = \sigma T^4 \frac{R_s^2}{d^2(lon, lat)}\cos(\alpha)$ donde $\alpha$ es el ángulo de incidencia de la luz solar. Como $\cos(\alpha) = \frac{h}{d}$ (donde $h$ es la altura del Sol hasta el disco), al final queda que

$F(lon, lat) = \sigma T^4\frac{R_s^2 h}{d^3(lon, lat)}$

Y el flujo de energía total que llega a la Tierra es

$E = \int_0^{2\pi} \int_0^{r} F(lon, l)l\;\mathrm{d}l\;\mathrm{d}lon$

donde $l$ es la distancia hacia el polo norte y $r$ es el radio del disco terrestre. Para tener la energía promedio, no hay nada más que dividir por el área total del disco.