La matemática es hermosa.

   Einstein decía que para que una teoría sea cierta, tiene que ser hermosa. Aunque sin mucha validez científica, es verdad que la naturaleza no sólo es linda en la superficie sino que las ecuaciones que la describen también son agradables estéticamente. Pero encontrar belleza en expresiones tan simples como polinomios que resolvíamos en la secundaria parecería algo imposible. Sin embargo, Dan Christensen, de la Universidad de Ontario Oeste y Sam Derbyshire, de la Universidad de Warwick encontraron estos hermosos patrones ploteando sus raíces reales, imaginarias y complejas.

Un polinomio es una expresión con la forma y = an * x^n + an-1 * x^n-1 + an-2 * x^n-2 + … + a0. Las ecuaciones de segundo grado que se enseñan en segundo año son un caso simple. El grado es la potencia más grande de x y la raíz es el valor de x que da y = 0 y un polinomio tiene un número de raíces igual a su grado. Una raíz puede ser real (2, 4/3, pi, etc…) o imaginaria (i). El número i es igual a √–1; √–2, por ejemplo es √2*i. Por último, los números complejos son aquellos con una componente real y otra imaginaria, i + 1 es un número complejo. La relación entre imaginarios y reales puede ilustrarse mediante un sistema de ejes cartesianos. En el eje horizontal está la componente real, en el vertical la imaginaria y cualquier número complejo está en el plano que conforman ambas líneas.

(click en las imágenes para agrandecer)

Lo que se ven en estas imágenes es ese mismo plano en donde se marcan con un punto los lugares que son soluciones a distintas funciones polinómicas. Le tomó al programa Mathematica 4 días para resolver las más de 400 millones de raíces y generar unos 5 Gb de datos. En esta página hay una explicación de cada imagen, qué polinomios se usaron y detalles sobre sus características. Está en inglés pero es bastante accesible para el lego. Y en esta web hay un link para descargar la versión original: un archivo .png de 90 Mb.

En el centro de esta imagen está la coordenada (1;0). Es notable que en las cercanías a las coordenadas enteras y las raíces cuadradas de 1 hay pocas soluciones pero sí hay una solución en ellas. Por eso se forman estos “agujeros”. La línea blanca marca el eje de los reales porque existen muchas soluciones reales (no es el que el eje esté dibujado explícitamente). También puede verse una sutil disminución en la concentración de soluciones a medida que los números complejos se acercan a esta línea; esto es el análogo a los agujeros: hay más raíces reales que “casi” reales.

En otros agujeros, como este en exp(iπ/4) = (1 + i)/√2, muestran otra característica: a medida que se acercan al punto, la concentración de raíces disminuye, luego aumenta, y finalmente baja a cero en las inmediaciones. Además, pueden observarse patrones sutiles que parecieran las líneas magnéticas de una estrella.

Recomiendo fervientemente visitar el sitio original para ver explicaciones más detalladas y más imágenes hermosas como esta.